Квадратные уравнения – это одно из наиболее распространенных видов уравнений, которые мы изучаем в школе. Как правило, они имеют два корня, но есть и особый случай, когда уравнение имеет только один корень. Этот случай требует отдельного рассмотрения, так как он имеет свои особенности и может встречаться в различных ситуациях.
Квадратное уравнение с единственным корнем имеет следующий вид: ax2 + bx + c = 0, где a, b и c – коэффициенты, причем a не равно нулю. В этом случае дискриминант уравнения равен нулю, что означает, что корни уравнения имеют равные значения.
Такая ситуация возникает, когда вершина параболы, заданной уравнением, лежит на оси абсцисс. В геометрическом смысле это означает, что парабола пересекает ось абсцисс только в одной точке. Если рассмотреть график такого уравнения, то можно увидеть, что парабола выглядит как горизонтальная прямая.
Особенности квадратного уравнения с единственным корнем
Квадратное уравнение с единственным корнем представляет особый случай квадратного уравнения, когда уравнение имеет только одно решение. Такое уравнение можно записать в общем виде:
ax² + bx + c = 0
Существует несколько особенностей, которые отличают квадратное уравнение с единственным корнем от других типов квадратных уравнений:
| Особенность | Пояснение |
|---|---|
| Дискриминант равен нулю | Если дискриминант уравнения равен нулю (D = b² - 4ac = 0), то уравнение имеет только одно решение. |
| Квадратное уравнение с равными корнями | Если уравнение имеет только один корень, то этот корень является удвоенным корнем, то есть оба корня равны: x₁ = x₂ = -b / (2a). |
| График функции является параболой | Если уравнение имеет только одно решение, график функции будет представлять параболу, которая касается оси x в точке решения. |
Примеры квадратного уравнения с единственным корнем:
3x² - 6x + 3 = 0
x² - 4x + 4 = 0
-2x² + 4x - 2 = 0
Если решить эти уравнения, получим единственное решение для каждого из них.
Коэффициенты квадратного уравнения
Коэффициент a называется коэффициентом при переменной x^2 и должен быть отличным от нуля. Он определяет выпуклость или вогнутость параболы, образуемой графиком уравнения. Если a положительно, парабола открывается вверх, а если a отрицательно, то вниз.
Коэффициент b является коэффициентом при переменной x и определяет смещение оси симметрии параболы относительно вертикальной оси. Положительное значение b смещает параболу вправо, а отрицательное - влево.
Коэффициент c называется свободным коэффициентом и определяет смещение параболы вверх или вниз по вертикальной оси. Положительное значение c смещает параболу вверх, а отрицательное - вниз.
Важно помнить, что уравнение с единственным корнем имеет особые значения коэффициентов. В данном случае коэффициент a меньше нуля, коэффициент b равен нулю, а коэффициент c может принимать любые значения. Это особенность, которая позволяет определить, что уравнение имеет только один корень.
Дискриминант квадратного уравнения
Дискриминант обозначается символом D и вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.
Значение дискриминанта может быть положительным, отрицательным или равным нулю. В зависимости от его значения, квадратное уравнение может иметь разное количество корней и тип решений.
Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня.
Если D = 0, то уравнение имеет один вещественный корень.
Если D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней, а имеет два комплексных корня.
Знание значения дискриминанта позволяет сделать предположения о характере корней квадратного уравнения и более эффективно решить его.
Графическое представление квадратного уравнения
Графическое представление квадратного уравнения позволяет наглядно изучить его особенности и найти решения с помощью анализа графика. В случае уравнения с единственным корнем график будет иметь свои характеристики.
- График квадратного уравнения с единственным корнем будет представлять собой пара-болу, то есть параболу, ветви которой направлены вниз.
- Вершина параболы будет находиться на оси симметрии, которая является вертикальной прямой, проходящей через середину отрезка между двумя корнями уравнения.
- График будет пересекать ось X только в одной точке, что и является корнем уравнения.
- Если уравнение имеет положительный коэффициент при x^2, то парабола будет направлена вниз. Если коэффициент отрицателен, то парабола будет направлена вверх.
- Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение будет иметь единственный корень.
Изучение графического представления квадратного уравнения позволяет лучше понять его свойства и найти решения с помощью визуального анализа. При решении уравнений с единственным корнем график может служить дополнительным способом проверки правильности решений.
Примеры квадратных уравнений с единственным корнем
Квадратное уравнение с единственным корнем имеет особую форму, где дискриминант равен нулю. Рассмотрим несколько примеров таких уравнений.
Пример 1:
Рассмотрим уравнение x^2 - 6x + 9 = 0. Дискриминант этого уравнения равен 6^2 - 4 * 1 * 9 = 0. Корни уравнения совпадают и равны x = 3.
Пример 2:
Пусть у нас есть квадратное уравнение 2x^2 - 8x + 8 = 0. Посчитаем дискриминант: 8^2 - 4 * 2 * 8 = 0. Здесь также существует единственный корень и он равен x = 2.
Пример 3:
Рассмотрим уравнение x^2 + 4x + 4 = 0. Дискриминант этого уравнения равен 4^2 - 4 * 1 * 4 = 0. Единственный корень имеет значение x = -2.
Таким образом, квадратное уравнение с единственным корнем может быть записано в виде x^2 + px + q = 0, где дискриминант равен нулю. Все приведенные примеры иллюстрируют эту особенность.
